Funciones (álgebra)

FUNCION

En muchos casos de la vida se pueden notar resultados que depende de otras cantidades, la temperatura depende de la hora del día, el peso que levanta una persona depende de la fuerza que posea, el tiempo que tarde un pozo en llenarse depende del flujo de agua; todas estas se pueden determinar como funciones, porque son resultados que están en función (o dependientes) de otras variables (osea cantidades que pueden variar), en cada función hay diferentes condiciones y factores que intervienen en el resultado final, es cierto que la temperatura esta en función de la hora del día pero hay mas factores de los que también depende como: la fecha, el clima, la altitud respecto el nivel del mar; esto nos demuestra que en casi todos los casos, las funciones son distintas pero hay algo que todas siempre tienen en común y que las define como funciones, es que siempre esos resultados va a estar en función de otras variables.

Ejemplo 1:

Vamos a tomar la función "f(x) = x^2" y si evaluamos "f(3)" nos dará. 

f(3) = x^2

f(3) = (3)^2

f(3) = 9

Ahora, todos los números que pueden operarse en la función se determinan como dominio y todos los resultados que da el dominio se determinan como rango; en este ejemplo el dominio lo conformaba solo el numero "3", el rango solo el numero "9".

Ejemplo 2:

Determinar el dominio y rango de la función "f(x) = x^2".

Si lo analizamos detenidamente, nos daremos cuenta que en esta función se puede operar cualquier número ya que no hay reglas matemáticas que lo impidan, por lo que su dominio sera desde infinito negativo hasta infinito positivo (-infinito,+infinito).

Las funciones cuadráticas (o de segundo grado) como: "x^2"," x^6"," x^18", siempre dan resultados positivos o "0" por lo que se su rango seria desde [0,+infinito ).

Los corchetes "[ ]" se usan para señalar que determinado numero se incluye y los paréntesis "( )" señalan que el dominio o rango llega hasta ese numero pero que ese mismo numero no se incluye (en el caso de -infinito y +infinito, siempre se utilizan paréntesis).

Ejemplo 3:

Evalué la función "f(z) = 2 |- 6/z|^2" con los valores "f(-2)", "f(0)", "f(3)", también determine el dominio de la función y su rango.

f(-2) = 2 |- 6/z|^2                      f(0) = 2 |- 6/z|^2                               f(3) = 2 |- 6/z|^2

f(-2) = 2 |- 6/(-2)|^2                 f(0) = 2 |- 6/(0)|^2                            f(3) = 2 |- 6/(3)|^2

f(-2) = 2 |3|^2         (no es posible un cero en un denominador)          f(3) = 2 |-2|^2

f(-2) = 2 (9)                                                                                      f(3) = 2 (4)                                                                 

f(-2) = 18                                                                                          f(3) = 8

El dominio de esta función seria: (-infinito,+infinito) excepto "0", se nota con fácilmente que cero no puede ser parte del dominio debido que en este caso no puede operarse para esta función.

El rango de esta función seria: (0,+infinito), observe que cero no se esta incluyendo en este rango porque para esto, tendría que haber un numero en el dominio que al ser operado dentro del valor absoluto "|  |" diera como resultado "0", pero el resto de números existentes en esta función no dan "0" como resultado por lo que no es posible que pertenezca al rango.

NOTA: el rango de esta función comienza desde "0" (sin incluirlo) hasta +infinito porque no pueden darse como resultado numero negativos a causa del valor absoluto de la función.

Ejemplo 4:

Evalúe la función definida por partes en los valores indicados.

f(m) = m^2 + 2m     si m <= -3
f(m) = m^3              si -3 < m <= 2
f(m) = 2/(m-4)         si m > 2

f(-5), f(-3), f(-2), f(0), f(1), f(4), f(6)

f(-5) =  m^2 + 2m = (-5)^2 + 2(-5) = 25 + (-10) = 15
f(-3) =  m^2 + 2m = (-3)^2 + 2(-3) = 9 + (-6) = 3
f(-2) = m^3 = (-2)^3 = -8
f(0) = m^3 = (0)^3 = 0
f(1) = m^3 = (1)^3 = 1
f(4) = 2/(m-4) = 2/(4-4) = 2/0 =  (no es posible un cero en un denominador)
f(6) = 2/(m-4) = 2/(6-4) = 2/2 = 1

Cuando son funciones por partes, estas son dos o mas funciones que se operaran con dominios distintos; para la primera función, la condición decía que se usaría si "m" era menor o igual a "-3", lo que era en el caso de "-5" y "-3".

Para la segunda función, la condición decía que se usaría si "m" era mayor a "-3" y menor a "2", lo que era el caso de "-2", "0" y "1"

Para la tercera función, la condición decía que se usaría si "m" era mayor "2", lo que era el caso de "4" y  "6".

NOTA: el numero "4" no es posible evaluarlo en la función.