Modelado mediante ecuaciones (álgebra)

Muchos problemas de la ciencia, economía, medicina y otros numerosos campos pueden resolverse mediante el álgebra, por eso es muy útil. Usaremos ecuaciones con modelos matemáticos para resolver problemas cotidianos.

El modelado de ecuaciones tiende a ser un poco difícil de analizar debido a que trata de plasmar con una ecuación matemática situaciones formuladas en palabras, pero es mas fácil crear estas ecuaciones con una serie de pasos que veremos a continuación.

1. Identificar la variable.  Identifique la cantidad que el problema le pide determinar. Por lo regular, esta cantidad se puede determinar por medio de una lectura cuidadosa de la pregunta planteada al final del problema. Pudiendo ser llamada la variable "x" o cualquier otro nombre.
2. Expresar datos en términos de la variable. Lea una vez mas cada oración del problema, y exprese todas las cantidades mencionadas en el problema en términos de la variable que definió en el paso 1. Para organizar esta información, a veces es útil dibujar un esquema o elaborar una tabla.
3. Plantear el modelo. Encuentre el hecho decisivo en el problema que relaciona las expresiones que usted listó en el paso 2. Plantee una ecuación o modelo, que exprese esta relación.
4. Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta. Resuelva la ecuación, verifique la respuesta y exprésela como una oración que responde a la pregunta hecha en el problema.

Ejemplo 1:

Una compañía que renta automóviles cobra 30 dolares al día mas 15 centavos de dolar por milla al rentar un automóvil. Juan renta un automóvil por dos días y su cuenta es de 108 dolares. ¿Cuantas millas habrá recorrido?

Identificando variable

Se pide determinar la cantidad de millas que Juan recorrió. Entonces "x" = cantidad de millas recorridas.

Expresando datos en términos de la variable "x"

Cantidad de millas recorridas............................................................x

Costo de la cantidad de millas recorridas (15 centavos cada milla).....0.15x

Costo diario (30 dolares por dia)......................................................30*2

Funciones (álgebra)

FUNCION

En muchos casos de la vida se pueden notar resultados que depende de otras cantidades, la temperatura depende de la hora del día, el peso que levanta una persona depende de la fuerza que posea, el tiempo que tarde un pozo en llenarse depende del flujo de agua; todas estas se pueden determinar como funciones, porque son resultados que están en función (o dependientes) de otras variables (osea cantidades que pueden variar), en cada función hay diferentes condiciones y factores que intervienen en el resultado final, es cierto que la temperatura esta en función de la hora del día pero hay mas factores de los que también depende como: la fecha, el clima, la altitud respecto el nivel del mar; esto nos demuestra que en casi todos los casos, las funciones son distintas pero hay algo que todas siempre tienen en común y que las define como funciones, es que siempre esos resultados va a estar en función de otras variables.

Ejemplo 1:

Vamos a tomar la función "f(x) = x^2" y si evaluamos "f(3)" nos dará. 

f(3) = x^2

f(3) = (3)^2

f(3) = 9

Ahora, todos los números que pueden operarse en la función se determinan como dominio y todos los resultados que da el dominio se determinan como rango; en este ejemplo el dominio lo conformaba solo el numero "3", el rango solo el numero "9".

Ejemplo 2:

Determinar el dominio y rango de la función "f(x) = x^2".

Si lo analizamos detenidamente, nos daremos cuenta que en esta función se puede operar cualquier número ya que no hay reglas matemáticas que lo impidan, por lo que su dominio sera desde infinito negativo hasta infinito positivo (-infinito,+infinito).

Las funciones cuadráticas (o de segundo grado) como: "x^2"," x^6"," x^18", siempre dan resultados positivos o "0" por lo que se su rango seria desde [0,+infinito ).

Los corchetes "[ ]" se usan para señalar que determinado numero se incluye y los paréntesis "( )" señalan que el dominio o rango llega hasta ese numero pero que ese mismo numero no se incluye (en el caso de -infinito y +infinito, siempre se utilizan paréntesis).

Ejemplo 3:

Evalué la función "f(z) = 2 |- 6/z|^2" con los valores "f(-2)", "f(0)", "f(3)", también determine el dominio de la función y su rango.

f(-2) = 2 |- 6/z|^2                      f(0) = 2 |- 6/z|^2                               f(3) = 2 |- 6/z|^2

f(-2) = 2 |- 6/(-2)|^2                 f(0) = 2 |- 6/(0)|^2                            f(3) = 2 |- 6/(3)|^2

f(-2) = 2 |3|^2         (no es posible un cero en un denominador)          f(3) = 2 |-2|^2

f(-2) = 2 (9)                                                                                      f(3) = 2 (4)                                                                 

f(-2) = 18                                                                                          f(3) = 8

El dominio de esta función seria: (-infinito,+infinito) excepto "0", se nota con fácilmente que cero no puede ser parte del dominio debido que en este caso no puede operarse para esta función.

El rango de esta función seria: (0,+infinito), observe que cero no se esta incluyendo en este rango porque para esto, tendría que haber un numero en el dominio que al ser operado dentro del valor absoluto "|  |" diera como resultado "0", pero el resto de números existentes en esta función no dan "0" como resultado por lo que no es posible que pertenezca al rango.

NOTA: el rango de esta función comienza desde "0" (sin incluirlo) hasta +infinito porque no pueden darse como resultado numero negativos a causa del valor absoluto de la función.

Ejemplo 4:

Evalúe la función definida por partes en los valores indicados.

f(m) = m^2 + 2m     si m <= -3
f(m) = m^3              si -3 < m <= 2
f(m) = 2/(m-4)         si m > 2

f(-5), f(-3), f(-2), f(0), f(1), f(4), f(6)

f(-5) =  m^2 + 2m = (-5)^2 + 2(-5) = 25 + (-10) = 15
f(-3) =  m^2 + 2m = (-3)^2 + 2(-3) = 9 + (-6) = 3
f(-2) = m^3 = (-2)^3 = -8
f(0) = m^3 = (0)^3 = 0
f(1) = m^3 = (1)^3 = 1
f(4) = 2/(m-4) = 2/(4-4) = 2/0 =  (no es posible un cero en un denominador)
f(6) = 2/(m-4) = 2/(6-4) = 2/2 = 1

Cuando son funciones por partes, estas son dos o mas funciones que se operaran con dominios distintos; para la primera función, la condición decía que se usaría si "m" era menor o igual a "-3", lo que era en el caso de "-5" y "-3".

Para la segunda función, la condición decía que se usaría si "m" era mayor a "-3" y menor a "2", lo que era el caso de "-2", "0" y "1"

Para la tercera función, la condición decía que se usaría si "m" era mayor "2", lo que era el caso de "4" y  "6".

NOTA: el numero "4" no es posible evaluarlo en la función.

Fundamentos Básicos (trigonometría)

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS O IGUALDADES TRIGONOMETRICAS

Seno, coseno y tangente son las tres principales, de ellas tres se derivan todas las demás  siendo cosecante, secante y cotangente estas mismas tres solo que en el denominador y en el numerador un numero "1", no obstante es muy importante aprenderlas y aprender también la relación entre ellas.

(seno)  sen(t) = y         

(coseno)  cos(t) = x         

(tangente)  tan(t) = sen(t)/cos(t) = y/x    (donde "cos(t)" y "x" no pueden ser igual a "0")

(cosecante) csc(t) = 1/sen(t) = 1/y    (donde "sen(t)" y "y" no puede ser igual a "0")

(secante) sec(t) = 1/cos(t) = 1/x    (donde "cos(t)" y "x" no puede ser igual a "0")

(cotangente) cot(t) = cos(t)/sen(t) = x/y    (donde "sen(t)" y "y" no puede ser igual a "0")

Observe que cosecante, secante y cotangente son las mismas primeras tres funciones solo que al revés (<.< no es correcto decir que están al revés porque no es así, pero es mas fácil entenderlo de esa forma). También observe que en cada función el denominador no puede ser "0". 

La variable "t" se usara para ángulos desconocidos en dimensionales de grados y la variable "R" sera usada para ángulos desconocidos en dimensionales de radianes.

IDENTIDADES DE COFUNCIONES

-__- en vista de la necesidad usare la "ñ" para representar Pi (el Pi que todos conocemos 3.141592654.....)

sen(ñ/2 - R) = cos(R)           cos(ñ/2 - R) = sen(R)          tan(ñ/2 - R) = cot(R)

csc(ñ/2 - R) = sec(R)           sec(ñ/2 - R) = csc(R)           cot(ñ/2 - R) = tan(R)

Estas identidades solo pueden trabajar con radianes, y dan a comprender que Pi medios, menos un angulo cualquiera "R" da como resultado su función contraria (en realidad tampoco son funciones contrarias, es solo una analogía), seno queda igual a coseno y viceversa; lo que sucede es que estas funciones trigonometrícas son periódicas y son muy parecidas, como se logra ver en la gráfica.

Entonces si movemos cualquiera de las dos en un angulo de ñ/2, esta llega a quedar justo sobre la otra, confirmando el hecho de que si al angulo de seno se le resta o suma ñ/2 da como resultado coseno con el mismo angulo pero con signo distinto. 

IDENTIDADES PITAGORICAS

sen^2(t)+cos^2(t) = 1             1 + tan^2(t) = sec^2(t)         1 + cot^2(t) = csc^2 (t)

En estas identidades se uso el angulo en grados "t", pero también aplican para poder ser usadas en ángulos de radianes.

Suma y Resta de Polinomios (álgebra)

La suma y resta de polinomios es muy similar a la suma y resta que todos conocemos, simplemente trata de operar números en adición (si son monomios del mismo signo) o sustracción (si son monomios de diferente signo); pero hay una nueva regla que se aplica en todo esto, y es que ahora los polinomios se operaran dependiendo del numero del exponente (o numero de potencia), monomios con diferente numero de exponente no se pueden sumar o restar entre si.

Ejemplo1:

(6x + 3 - 4x^2 - 2x^3) + (2 + x^2 + 4x)

= 6x + 3 - 4x^2 - 2x^3 + 2 + x^2 + 4x    (operando el signo + fuera de los paracentesis)

= 6x + 4x  + 3 + 2  - 4x^2 + x^2  - 2x^3  (ordenando términos por exponentes iguales)

=    10x        + 5         - 3x^2      - 2x^3   (operando los términos)

= - 2x^3 - 3x^2 + 10x + 5    (ordenando el polinomio en orden descendente)

Es necesario notar que los monomios que tenían una variable "x" como "6x" y "4x" podían ser operados ya que ambos tenían una variable de exponente "1" como lo es "x^1 = x", por con siguiente al tener el mismo signo ambos se suman dando un resultado de "10x".

De la misma forma en el caso de los monomios "x^2" como "- 4x^2" y "+ x^2" pueden operarse porque también son del mismo numero exponencial, pero a diferencia del caso anterior en este ambos son de signos distintos por lo que se procede a restar, siempre el mayor menos el menor dando un resultado de "- 3x^2".

En el caso del "3" y "2", los dos son números constantes y estos pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos sin ningún problema, siempre que los dos no tengan ninguna variable.

Para el "- 2x^3", como es el único termino que posee una variable "x" a la tercera potencia, no puede operarse con ningún otro termino.

Ejemplo 2:

(x^3 - 6x^2 + 2x +4) - (x^3 + 5x^2 - 7x)

= x^3 - 6x^2 + 2x +4 - x^3 - 5x^2 + 7x     (operación de los signos fuera del paréntesis)

= x^3 - x^3  - 6x^2 - 5x^2  + 2x + 7x  +4   (ordenando términos de exponentes iguales)

=      0            - 11x^2            + 9x    + 4  (operando términos)

NOTA: los pasos descritos en azul son obligatorios, los descritos en verde solo son para que sea mas fácil entender el proceso y son opcionales..... Pero en algunos casos los catedráticos o maestros, exigen que se ordene de forma descendente del exponente, <.< yo no se porque si de todos modos "2x - 3 = - 3 + 2x (propiedad conmutativa)".

Fundamentos Basicós (álgebra)

NUMEROS VARIABLES Y NUMEROS CONSTANTES

Una variable (o numero variable) se representa con un símbolo, o letra que toma un valor, el cual puede variar según la situción, mientras que una constante (o numero constante) es un numero que se conoce con total seguridad y que siempre sera el mismo. 

Ejemplo:

"2+x" en este caso el "2" es un numero constante porque nunca cambia, siempre seguirá siendo "2",  sin embargo el siguiente numero se desconoce por lo que puede ser cualquiera  y ya que este numero "x" puede variar (ser cualquier numero existente) se conoce como *Variable*.

POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica o secuencia numérica la cual consta de múltiples monomios; estas expresiones también pueden clasificarse como monomio, binomios, trinomios y por ultimo polinomios. 

Ejemplo:

espero me logren comprender, porque debido a las limitadas opciones de escritura usare este símbolo "^" para expresar una enésima potencia.

= 3x^4 = tres por "x" elevado a la cuarta potencia.

• 2        Este es un monomio.
• x        Este también es un monomio.
• x^2    Este es otro monomio.
• x+x^3               Este es un binomio porque conste de dos monomios. "x" monomio "x^3" monomio.
• 2x + 3 + x^2     Este es un trinomio porque consta de tres monomios. "2x" monomio "+3" monomio "+x^2" monomio.

Los prefijos mono, bi y tri, significan uno, dos y tres, respectivamente como decir: mono-ciclo (una llanta), bicicleta (dos llantas), triciclo  (tres llantas); por otro lado poli significa varios, por eso se acostumbra decir polinomios a este tipo de expresiones, sin importar si tienen solo dos o mas monomios.

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